转载者摘要：今天在网上找到了这篇文章，出自一位数学专业出身的经济学家的手笔。文中提到了我十分感兴趣的几个重要人物：布劳威尔、希尔伯特、舍勒、康托，还有纳什。这是一篇不错的介绍性文章，但是对于布劳威尔、舍勒我有我自己的观点，和文章有很大的不同。布劳威尔的直觉主义数学流派是失传的，也就是说现在没有真正的直觉主义数学家，也就无从继承和发展布劳威尔的数学，评价也肯定是有失公正的；舍勒的贡献是人种志等级上的形而上学，也就是人类学形而上学，他对于哲学方法的贡献是“哲学的自律”。文中有一处错误，爱因斯坦当年对希尔伯特的抗议是“沉默地退出”而不是公开反对[参考我昨天的骂人贴]。

数学与社会科学方法的关系
http://www.beiwang.com 2004-10-6  北望经济学园

5月18日晚6：30，在紫金港校区东二204教室，一场由汪丁丁教授带来的“略论数学与社会科学方法的关系”的讲座拉开帷幕。此次讲座是紫云论坛数学节系列活动之一，由浙江大学理学院、浙江大学紫云学园学生会主办

数学与社会科学方法的关系

这个题目，我希望能够跟数学系的同学交换一下看法，写了二十多页讲稿，但是还没想好怎样讲。从什么地方开始讲今天这个的主题呢？这个主题太大，“数学和社会科学方法的关系”。然后，我在来紫金港的路上，突然受了某种启发，决定修改一下思路，想先讲讲我自己在数学系读研究生的一些感受，然后带出来今天报告的主题。我们教室很大、很空旷，比较适合讲述我的感受。
从1977年到1985年，我在数学这个专业内学习了近8年。先是在北京师范学院——现在改名为首都师范大学，是恢复高考后的第一届学生。然后，我考入中国科学院研究生院，那里原来只有一个数学研究所，数学所里有一个“控制理论”研究室，我就在这个室里读硕士研究生。后来，这个室从数学所分离出来，叫做“系统科学研究所”，现在叫“数学与系统科学”研究院，从中关村的高速公路上能看见它的那幢豪华办公楼。不过，当时那里的条件很差。我们进去的时候，科学院系统仍然在陆续落实“知识分子政策”。我去拜访科学院的老师们，发现他们的住房，都是……你们现在的孩子可能从未见过，叫做“筒子楼”，一条长长的楼道，两边是许多“一居室”的宿舍。我拜访的那位老师，一家四口人，按照“研究员待遇”，享受筒子楼里的“一居室”住房，大家共用一个厨房。科学院研究生院也一样艰苦，没有教学大楼。科技大学在合肥，它在北京的研究生院，就是我们这个中科院研究生院。关键在于，我们研究生院当时在北京的地点非常有意思，就在八宝山旁边。各位知道不知道八宝山呢？“八宝山公墓”，与我们研究生院和学生宿舍“比邻”而立。
这样，那一段日子里，我每天傍晚和清晨都在墓地里散步，复习功课，思考数学问题。那时候，北京市区还很小，“二环”路大概刚刚在修建，从市区到八宝山还有很多段是土路呢，大家总是乘地铁或者骑自行车去我们那边。所以，能在傍晚和清晨到墓地里散步的人，或许就只有我了。
我在墓地里散步，思考数学问题，周围是层层叠叠的松树林，我倾听松林的低语和幽灵的叹息。结果，学了几年数学之后，数学在我脑子里就带上了一种特别神秘的色彩。
今天，在路上，我受到启发，从墓地开始讲述，其实我是想告诉你们：如果你有灵性，能听见幽灵的叹息，那你不论是在数学系——纯数学，注意，不是应用数学系——不论你是在数学系还是在社会科学院或人文学院里，你都应该能够走到我今天打算讨论的这个主题上来。
但是，我现在还说不清楚今天的主题，还必须等待，到我的报告结束的时候，我才能告诉大家。我脑子里的数学是很神秘的，有点像毕达哥拉斯的数学。现在，让我先讲一些对数学和社会科学的初步理解。
“数学”，我从网上找到一个很古老的定义：“数学是研究数字，数，和空间性质的学问”。你们是否同意这个定义呢？我看到多数同学表示同意。
这个定义，在数学思想史上，有着四千年的历史。古代的巴比伦人和埃及人，最早用“神圣三角形”来计算圆的面积。当时，他们留下了今天我们所发现的人类最早的一份“纸草”，记录了他们的数学。这份最早的数学记录，日期大约在公元前2450年。
根据这份记录，数学，从那时开始，一直到晚近，始终被定义为是研究数的性质和空间（几何）性质的学问。但是，到了1988，《科学杂志》发表了一篇文章。作者是美国一位很重要的数学教育家，叫做林•阿特尔•比因斯（Lin Arter Beins）。
1988年，他为什么要在《科学杂志》发表这样一篇讨论数学的本质的文章呢？这篇文章的题目叫做“The science of patterns”——关于模式的科学。作者要论证的是，今天的数学应当被定义成为研究一切“patterns”（模式）的学问。数学家所研究的，其实是大自然、人类社会、以及心理状态中出现的各种模式。这样的看法，似乎把数学家们当作计算机，用于“模式识别”了。但这一定义，在今天看来比古代的定义更符合现代数学的实质。
那么，“社会科学”研究什么事情呢？我们知道，它研究“人”。在社会科学和数学之间，至少有这样一座桥梁，那就是：你们这些数学家在作为“人”，思考数学问题的时候，我们这些社会科学家或哲学家，作为研究者，倾向于这样看这件事情，首先，我们面前有一位数学系学生，他在思考数学问题，他的思想，我们叫做“意向行为”——intentional action，有意向的一种行动，是“思想行动”。而他的思想的内容，我们叫做“意向内容”——intentional content。如果你在考虑“1+1”为什么要等于“2”这样一道数学题，那么，当你在思想的时候，你想的那些内容，你的意识的内容，也就是你的意向行为的内容。这一点非常重要，因为这样我们研究者就可以把数学家的思想行动与这一思想行动作用于其上的思想内容区分开来了。
对于“数学家在思想”这件事情，我们社会科学家还可以提出这样一些问题：（1）数学行为的意向内容，它是在我们这个世界里，还是在天上？例如，像毕达哥拉斯或者柏拉图相信的那样，它根本不属于我们这个世界；（2）当数学家思考数学问题的时候，他的这种行为，这一思想行动本身，是属于此世呢？还是不属于此世？例如，数学行为本身具有某种神圣性，它在天上发生，然后下降到某一数学家身上；又或者，数学行为是此岸的人向着彼岸某种理念的努力接近，从必然世界向着“自由”的某种意向。
上面我们提出了四个问题，你们明白了吗？意向行动，意向内容，此岸世界，彼岸世界。这两组概念，两两组合，一共是四种可能性。还有些同学不明白，大概你们在数学系从不考虑神学问题吧？四种可能性：（1）数学意向属于彼岸世界，（2）数学意向属于此岸世界，（3）数学意向的内容属于彼岸世界，（4）数学意向的内容属于此岸世界。
社会科学家既然研究人类行为和人类社会，他们就完全可以把我们数学家的思考，当做人类数学思考来研究，当做一种特殊的人类行为，成为社会科学研究的对象。不过，上列四种可能性，研究起来错综复杂。我希望你们能想清楚，我相信数学系学生肯定能想清楚。
现在，社会科学本身，它有它自己研究人类行为的基本方法。那么，它的基本方法是从哪儿来的呢？我们社会科学家同样需要用上列四种可能性来反问自己。
但是我首先说明，社会科学方法，首先是要服从形式逻辑。否则，社会科学的“科学”这两个字就不合法了，它就不能叫“社会科学”了。这样，我们可以把“非逻辑”的方法排除在社会科学方法的范畴之外。例如，“顿悟”、“通灵术”、“萨满仪式”等等，都不能成为社会科学的方法。
社会科学家用符合逻辑的方法，来研究数学行为，试图整理出一种符合逻辑体系的看法，或者“模式”。这样就带出来两个问题，让我解释一下。基于形式逻辑的社会科学方法，它有两个最重要的特征。第一个特征，它要求实证性。社会科学的命题必须可以在经验世界里得到证实或否证，这一特征把社会科学与数学区分开来了。
其次，第二个特征，社会科学家经常不使用分析的方法而是使用归纳的方法。因为社会科学的定律——注意是“定律”而不是“定理”，不可能用分析演绎的方法来证明。社会科学家必须从现象归纳出一些规律，这些规律不是公理性的，而是统计意义上的“模式”。
以上两个特征，是社会科学方法在本质上不同于数学方法之处。社会科学与数学在方法上相同之处，如上述，就是它们都服从形式逻辑。
但是一谈到“逻辑”，又出现了一开始我们提出的那类问题，逻辑可能在这个世界之外。我刚才说了，古典的数学定义，从柏拉图以前就认定：数，是共相，是天上的东西，不是局限于我们这个世界之内的。按照柏拉图的“洞穴隐喻”或者“理念说”，我们生下来，脑子里已经有了数学的种子，然后通过意向性的数学行为，逐渐让这颗种子发芽，谓之“启蒙”。启蒙之后，我们就能够认识那些原本在彼岸的数以及数之间的关系，这些事物，叫做“共相”。这是柏拉图式的启蒙。按照古希腊人的看法，数学是最好的启蒙途径。“不懂得几何学的人请勿入内”，这是“柏拉图学园”大门口上铭刻的一句话。
一旦你启蒙了，柏拉图认为，你的灵魂就开始有了理性。于是，灵魂的其他两个方面——激情与欲望，就有了理性指导，就受了理性的驾驭，你就是一个正常的人了。
到了康德的时代，康德依然认定，数学概念是所谓“先天综合”概念。什么是先天综合概念呢？我给出一个简单定义，先天综合概念，就是无需此世经验的证实就已在此世表明了其真确性的那些概念。注意，首先，它们是关于这个世界的经验的概念。其次，它们的真确性不需要借助于这个世界里的经验来证实，它们是“先天”地真确的。所有的数学概念，康德在《逻辑学讲义》里说过，都是，或者几乎都是先天综合的，都不是后天综合的或后天分析的，都不依赖于后天的经验。
康德的思路，于是又把我们向神秘主义的方向带近了一步。现在我要介绍的，就是同学们想必都很熟悉的一位数学家，1966年才去世，布劳威尔。我在路上突然改变思路，就是因为想到了这位直觉主义数学家的奇特思想和生活经历。
今天，“布劳威尔不动点定理”，被认为是社会科学是整个社会科学的理论基石之一。上面说过，社会科学需要服从形式逻辑，同时，需要以逻辑推演的方式得到能够以统计规律加以检验的命题。如果我们把社会看作是一群具有理性选择能力的个人行为之间的交互作用的结果，那么，这一交互作用的过程是否能达到某种均衡状态，在逻辑上，就取决于这一互动过程是否存在着“不动点”。布劳威尔不动点定理，给出了最重要的一类不动点的存在性的条件。简单地说，他证明：圆盘上的连续函数必有不动点。后来，这一定理被许多数学家加以拓广，导致了“角谷不动点定理”；角谷定理在今天已经成为博弈学家们论证均衡存在性的最重要的定理之一。另外还有两个重要的不动点定理，其一叫做“巴拿赫压缩映像原理”，其二叫做“塔尔斯基不动点定理”。
布劳威尔坚持“直觉主义”立场，故而与当时世界数学界的领袖希尔伯特所倡导的“公理主义”